ریاضی و پیش بینی طبیعت!

ریاضی و پیش بینی طبیعت!

     در مطلب پیشین با نام "شگفتی"، بسیار در مدح ریاضی و توانائی های آن داد سخن رفت و نشان داده شد علیرغم قدرت شگفت آور آن در پیش بینی و پیشگوئی پدیده های طبیعی، آجر های سازنده آن چه معدود و چه ساده اند.  ضمناً اشاره شد که رایانه با تمام قابلیت هایش، خود بر همان بنیادهای اساسی ریاضی استوار است.  شبهه ای که از گفتار مزبور ایجاد میشود اینست که ریاضیات میتواند بتنهائی طبیعت جهان را تبیین کند.  حال آنکه در مطالب پیشین در بحث "علوم ریاضی" (1397/1/17) گفتیم که ریاضی چنین رسالتی را برای خود قائل نیست و نقش آن برقراری روابط بین مقادیر است.  این تناقض چگونه برطرف میشود؟  

     همانطور که در مباحث پیشین گفته شد، علوم ریاضی یک ابزار قدرتمند در خدمت فیزیک و سایر شعبه های دانش است.  ریاضی بخودی خود هیچگونه دانشی از دنیای بیرون بما نمیدهد.  مثل آنست که ادعا کنیم چکش بما میز و صندلی میدهد!  تا ماده خامی مانند چوب یا هر چیز دیگر در دست نباشد محال است چکش بشما چیزی بدهد.  در اینجا آن ماده خام چیست؟  ماده خام همانا اطلاعات (data) میباشد.  اطلاعاتی که توسط تجربه از طبیعت کسب میکنیم.  این کسب اطلاعات ممکنست بیواسطه صورت گیرد یا با واسطه و با کمک ابزار و آلات صورت پذیرد.  در هر صورت اطلاعات تجربی از پنجره حواس وارد مغز شده و ادراک رخ میدهد.  مثلاً قُدما محل نسبی ستارگان را با چشم میدیدند و در مجموعه های چندین و چند تائی تحت نام صور فلکی ثبت میکردند.  دانش ما ذرباره صور فلکی از این طریق میسر گردید.  بعدها همین صورت های فلکی را با واسطه تلسکوپ نوری و یا رادیوتلسکوپ مشاهده کرده و تغییرات ظریف و جزئی آنها درج و ثبت گردیده.  اینگونه اطلاعات خام یا نیمه پردازش شده بعداً منبع اصلی برای تولید دانش بشمار میرود.  کسب معرفت مرهون مشاهدات تجربی است.  پس از این مرحله است که ریاضیات بصحنه آمده و کار پردازش اطلاعات را آسان میسازد.  در مثالی دیگر، فرض کنید که تغییرات بسیار کوچک پوسته زمین توسط  اندازه گیری با پرتو لیزر برای سالها ضبط گردد.  حجم عظیمی از انبوه اطلاعات تهیه میگردد.  برای اینکه معلوم گردد در آینده وضعیت زلزله خیزی منطقه مزبور چگونه خواهد بود و چه احتمالی برای وقوع چه زمین لرزه ای و با چه بزرگی وجود دارد چاره ای نیست جز استفاده از ریاضی و پردازش اطلاعات تجربی با کمک الگو های ریاضی در رایانه.  در نبود اطلاعات اولیه و نبود هیچ داده تجربی، بهترین و دقیقترین الگوهای ریاضی و استخدام سریعترین ابررایانه، کوچکترین کمکی نخواهد کرد و کمترین دانشی تولید نخواهد شد.  لذا پیش شرط اصلی برای تولید دانش، وجود مشاهدات تجربی و فراهم آوردن اطلاعات است.  استفاده از ریاضی کمک مهمی برای تولید دانش است ولی خودش مولد دانش نیست.  مثلاً اگر رایانه نباشد و حجم اطلاعات زیاد نباشد محاسبات دستی نیز انجام پذیر است.  گاهی ممکنست اصلاً نیازی هم به محاسبه دستی نباشد و بررسی کیفی خود سر نخ مهمی بدست دهد چنانکه بطلمیوس طبقه بندی ستارگان را از لحاظ روشنائی انجام داده و آنها را در هیئت صورت های فلکی جای داد.  لذا قدرت ریاضی نباید ما را به اشتباه اندازد.

     نتیجه آنکه، علت به واقع گرائیدن محاسبات ریاضی و پیش بینی های دقیق آن، یکی استخدام الگوی ریاضی مناسب که خود البته مقتبس از طبیعت است و دیگری تهیه اطلاعات ورودی که این نیز برگرفته از واقعیت خارج است.  بطور خلاصه، تهیه اطلاعات از طبیعت و خوراندن آن به الگوی ریاضی تقلیدی از طبیعت تمام آن چیزی است که انجام میشود.  اگر گاهی پیش بینی ها درست از آب در نمیآید ناشی از کاستی در همین دو عنصر است: اطلاعات و الگو.  همه این موفقیت ها که گفتیم به این معنی نیست که جریان پشت پرده طبیعت را بخوبی درک و هضم کرده ایم.  به هیچ وجه!   یک مهندس و یک دانشمند با روشی که در بالا گفتیم میتواند به بهترین و دقیق ترین وجه به نتایج عالی دست یابد و پیش بینی های کاملاً موثق از روند جریانات طبیعی ارائه کند بدون آنکه سرشت واقعی نیروهای دست اندر کار طبیعت را درک کرده باشد.  با کمال تعجب، تمام دستآوردهای تمدن بر همین پایه بوده است.  مثلاً گرانش چگونه از راه دور اثر میگذارد و مثلاً چرا مثل الکتریسیته شامل دافعه نیست و عجایب موجود در انتشار الکترومغناطیس و رفتارهای دوگانه اتم و بسیاری چراهای دیگر.  ما فقط میدانیم که طبیعت اینطور که مشاهده میکنیم رفتار میکند و هنر بخرج داده و آنرا بزبان ریاضی ترجمه کرده ایم.  فقط همین.  شاید این یک خبر خوبی باشد برای کسانی که مرتب نگران این هستند که به حوزه مابعدالطبیعه کم التفاتی میشود.  هیچ توطئه ای در کار نیست.  نیت فقط بیان واقعیت است.

شگفتی

شگفتی

     در کار دنیا عجایب بسیار است.  بخشی را که مربوط به کار طبیعت بود قبلاً بطور بسیار خلاصه مطرح کردیم ( "دنیای ناممکن"، 99/2/18).  در پایان بحث مزبور نتیجه گرفتیم که مسبب همه شگفتی ها، یا دستکم بخش اعظم آن، حاصل دو چیز ساده است: ترتیب در ریاضی و نیروی الکتریکی در فیزیک.  باور کردن اینکه این همه چیزهای مختلفی که در طبیعت میبینیم و بویژه مسأله مهم حیات همه و همه از همین دو حقیقت ابتدائی نشأت گرفته بسیار مشکل اگر نگوئیم ناممکن است، از همین رو بحث مزبور را دنیای ناممکن نام نهادیم.

    چون قبول این واقعیت، حتی برای متخصصین، بسیار سخت است و بسیار چیزها میشنوند ولی باور ندارند لذا در مطلب حاضر سعی میکنیم روایت بسیار ساده تری را که خود، یعنی ما انسانها، مبتکر آن بوده ایم مطرح کرده و سپس با کمک "قیاس" نشان دهیم که نتیجه گیری سابق ما چندان دور از اعتبار نیست.  در این مسیر دو اما و اگر ممکنست موجود باشد.  یکی اینکه قیاس معلوم نیست لزوماً به حکمی قطعی بیانجامد و درست بودن مطلب حاضر نمیتواند از جهت مشابهت به اثبات حقیقت مطلب قبلی بیانجامد.  دوم اینکه نتیجه ای هم که اینجا در پایان خواهیم گرفت برای خودش آنقدر عجیب خواهد بود که طبعاً بسیاری از مردم عادی را قانع نخواهد کرد.  هرچند آنها که با مقدمات علوم آشنائی دارند چاره ای جز پذیرش نخواهند داشت.

     اجازه دهید از چهار عمل اصلی آغاز کنیم یعنی جمع و تفریق و ضرب و تقسیم.   محاسبات ما عمدتاً بر مبنای این چهار عمل است.  اما در حقیقت آنها یک عمل بیشتر نیستند.  همه آنها به عمل جمع فروکاهیده میشوند.  تفریق نوعی جمع است که عدد دوم که باید منها شود را منفی کرده با عدد اولی جمع جبری میکنیم.  عمل ضرب نیز نوعی جمع است که مثلاً  3*2 به معنای اینست که 3 بار 2 را با هم جمع کنیم (یا متشابهاً 2 بار 3 را جمع کنیم).  عمل تقسیم نیز نوعی عمل ضرب است که مقسوم علیه را معکوس کرده در مقسوم ضرب کنیم.  مثلاً  6/3 معادل است با ضرب 6 در  1/3.  نتیجه را چه بصورت کسر بیان کنیم که یک عدد گویاست و چه با ترفندهائی بصورت اعشاری بیان کنیم، در هر حال مقصود ما را انجام میدهد.  سایر عملیات دیگر مثل "توان" و ریشه گیری و لگاریتم و امثال آن نهایتاً به چهار عمل اصلی فروکاهیده میشود.  سایر توابع ریاضی مثل توابع مثلثاتی و هایپربولیک و انواع و اقسام توابع جبری را میتوان با استفاده از بسط به سری نهایتاً به چهار عمل اصلی تبدیل کرد.  در حقیقت این همان کاریست که رایانه ها در داخل خود انجام میدهند.   انتگرال نیز نوعی عمل جمع جبری است که محصول انباشت سطح زیر منحنی تابع مورد نظر است.   مشتق چه؟  آن نیز بهمین ترتیب چیزی نیست جز تفاضل دو مقدار نزدیک هم از تابع و تقسیم آن بر بازه مکانی یا زمانی مربوطه.  مشتقات مرتبه دوم و بالاتر نیز ایضاً بهمین ترتیب عمل میشود.  بیان آنچه در فیزیک و طبیعت روی میدهد را میتوان با یک سری معادلات انتگرودیفرانسیل نمایش داد که نزدیکترین بیان به آنچه رویداد واقعی در طبیعت است میباشد.  حل اینها نیز چه با حل تحلیلی و چه نهایتاً حل عددی بازگشت بهمان چهار عمل اصلی خواهد بود.  البته روش های بدیل دیگری نیز وجود دارد که یکی از آنها بر مبنای تولید اعداد تصادفی و پیگرد رویدادها عین آنچه طبیعت عمل میکند بدون تکیه بر هیچ معادله ای و حل کردن هیچ چیزی، قدرتمندترین ابزار ریاضی را به دست میدهد.  اینها همه و همه برمیگردد به چهار عمل اصلی و این نیز همانطور که گفتیم برمیگردد به جمع.  جالبست نه؟  

     برای کسی که با مقدمات مهندسی و اصول ریاضی آشنا نباشد باور کردن اینکه همه آنچه بصورت طراحی و محاسبات و شبیه سازی و پیش بینی های علمی و مهندسی از قبیل پیش بینی آب و هوا، ساخت هواپیما و انواع و اقسام دستگاه ها و فرستادن سفینه به سیارات و اعماق فضا و این شبکه حیرت آور ارتباطات و همه و همه آنچه مصنوعات در اطراف خود میبینید در عرصه صنعت و کشاورزی و پزشکی و غیره همه از تصدق سر یک عمل بسیار ابتدائی و ساده بنام عمل "جمع" است.  چقدر باور کردنش مشکل است که اگر جمع کردن نمیدانستیم، نیل به جایگاه امروزی محال بود.  وضع ما در چنین شرایطی بهتر از قبایلی بدوی که شماره نمیدانند نبود.  تأکید میشود که البته صرف دانستن جمع بخودی خود باعث اعتلاء نمیشود، شرط لازم هست ولی کافی نیست.  اما فراموش نکنیم که پیشرفت حیرت آور دنیای متمدن از قرن بیستم به بعد صورت فعل نمیپذیرفت اگر که رایانه اختراع نمیشد.  بدون این دستگاه پیش بینی دقیق آب و هوا حتی برای یکساعت بعد هم محال بود.  سفر انسان به ماه و طراحی و ساخت وسایل سفر و ادوات مربوطه بدون این دستگاه چیزی در حد ناممکن بود.  ارتباطات امروزی ما و این دستگاه های کوچکی که نزد همه هست بدون رایانه غیرممکن میبود.  جالبست بدانید که این سیستم بقدری رایج است که امروزه نه تنها در صنعت است بلکه تحت نام سیستم یا صنعت دیجیتال در خانه همگان وجود دارد و کسی نیست که از آن بی نیاز باشد.  اما عملکرد رایانه که بر اساس دیجیتال کار میکند چگونه است.  همانطور که گفتیم توابع ریاضی بصورت سری در میآیند.  حل معادلات نیز بصورت عددی صورت میپذیرد و با شروع از داده های شرایط مرزی، نقطه به نقطه تابع هدف جستجو میشود.  کار همه اینها نهایتاً به عمل جمع فروکاهیده میشود.  اما این عمل جمع چگونه انجام میشود؟  کافیست بدانیم تنها ارقامی که رایانه میداند فقط 0 و 1 است.  همین!  صفر نماینده نبود جریان الکتریکی در مدار و 1 نماینده وجود جریان الکتریکی در مدار است.  اگر زیادی وسواس بخرج دهیم، شاید بتوان گفت رایانه فقط با یک رقم کار میکند چه اینکه نبود جریان در مدار نشانه "بودن" چیزی نیست (بازگشت به دروس فلسفه علم).  در هر حال با ترکیب ساده ترین عناصر قابل تصور یعنی 0 و 1، عمل جمع و لذا چهار عمل اصلی و منعاقباً کلیه محاسباتی که گفتیم قابل اجرا در رایانه بوده و تمام عجایبی که شرح آن گذشت از همین دو قلم 0 و 1 ناقابل سرچشمه میگیرد!   قابل ذکر است که ریاضیدانها بسیار پیش از ابداع رایانه روی سیستم های غیر دهدهی نیز کار میکردند.  ابداع سیستم دودوئی ( binary) به لایب نیتس منسوب است که فقط با دو نشانه میتوان کلیه کارهای عددی را همچون سیستم دهدهی انجام داد.  مثلاً 100 در پایه دودوئی همان 4 خودمان است.  یادمان باشد که او فیلسوف نیز بود و مانند دکارت از زمره ایده آلیست ها بشمار میرود.  لایبنیتس اعتقاد داشت خداوند همه چیز جهان را در کامل ترین شکل خود خلق کرده و هر پدیده ای در کامل ترین جایگاه خود قرار گرفته است.  ولتر در یکی از داستانهایش کنایه های نیش داری به اینگونه اعتقادات او وارد کرده است.  لاپلاس نیز این ابتکار وی را در راستای فلسفه اش دیده و مینویسد: "لایب نیتس در حساب دودوئی خود تصویری از خلقت میجست.  او چنین میاندیشد که واحد (1) نشاندهنده باریتعالی و صفر نمایش هیچ است و دادار گیتی موجودات را از هیچ هستی داده است".  بهرحال فلسفه اش هرچه باشد، این ابتکارش به داد محاسبات رایانه ای رسید.  روحش شاد.  

     خواننده ممکنست آنچه را قبلاً درباره اعجاب دنیای طبیعی گفتیم باور نداشته باشد.  و اینکه شکل های گوناگون در دنیای محسوس ما مدیون عمدتاً دو عنصر ساده "ترتیب" و "نیروی الکتریکی" است را ناباورانه تلقی کند که حق هم خواهید داشت.  اما این اعجاب اخیر در این باره که شگفتی تمدن حاضر مدیون 0 و 1 و عمل جمع است دیگر محلی برای شک نمیتواند داشته باشد.  زیرا این یکی را ما خود خلق کرده ایم و در آن هیچ شک و شبهه ای نیست.  راز و رمز این شگفتی کجاست؟  پاسخ اینست که هیچ راز و رمزی در  کار نیست.  اگر راز و رمزی جستجو میکنید آنرا در ذهن تخیل گرای خود پیدا کنید.  ذهن ما عادتاً دوست دارد پشت هر شگفتی، راز و رمزی پیدا کند که در حقیقت راز اصلی همانا قوه تخیل و خیال بافی ماست.  تمام ابداعات و کشفیات و اختراعات ما مرهون قوه تخیل است.  چنانچه آنرا در جهت درست بکار بریم درهای رحمت گشوده میشود و چنانچه در جهت عکس بکار برده شود فانتزی و داستان های پریان و قصه های هزار و یکشب و امثال آن تولید میشود.  اینها بخودی خود بد نیست لیکن بازی با ذهن مردم و اسیر کردن تخیلات انسان در قالب های منجمد نامنعطف و کانالیزه کردن خواسته های آرمانی بشر در قالب های از پیش ساخته شده ماوراءطبیعی ممکنست همه نتایج تخیل مثبت را زایل کرده و چنان بلائی نازل کند که باعث زیرو زبر شدن تمدن ها و پیشرفت در جهت پسرفت گردد.  این از زمره همان مشکلاتیست که امروز سرباز کرده و خباثت های آن آشکار شده و توده ها با آن دست بگریبانند.  

    نتیجه آنکه، اگر هنوز متوجه شگفتی موجود در محاسبات و نیز شگفتی عجیب تر در طبیعت نشده اید آنرا پای "عادت" بگذارید.  عادت به شرایط موجود در ما پرسشی ایجاد نمیکند، انگیزه ای برای تعجب و سوأل کردن بوجود نمیآورد.  همه چیز را عادی حس میکنیم.  تبعات این عادت در اینجا البته فلسفی است ولی در سایر موارد که قبلاً برشمردیم غالباً به ارتجاع و عقب ماندگی منجر میشود.  پس اگر به این شگفتی تاکنون توجه نکرده بودیم و حال دریافت کرده باشیم و متوجه شده باشیم که چگونه یک دنیای بشدت متکثر میتواند از معدود عناصر ساده ای بوجود آمده باشد و قرارگیری چیزها به انحاء مختلف کنار هم (ترتیب یا combination) میتواند شکل های پیچیده ای بی هیچ شباهتی با عناصر سازنده خود بوجود آورد، در اینصورت زمان آنست که این باور خود را متشابهاً به عرصه اخلاقیات در اجتماع نیز تسری دهیم، شاید مشکلی را حل کند.  بعبارت دیگر، بجای اتکا به عناصر متعدد جدا از هم غالباً درهم و برهم متناقض با یکدیگر در حوزه اخلاق که اساس ادیان نیز بشمار میرود، از یک یا چند آموزه اساسی بسیار ساده استفاده کنیم.  همه آنچه در این حوزه مورد نیاز است با تکیه بر همین اجزای بنیادی و نشأت گرفته از آنها ساخته میشود.  بطور نمونه به برخی از این آجرهای سازنده توجه کنید:  "چو استاده ای دست افتاده گیر" که مضمون گفتار بسیاری از حکماست.  یا " آنچه برای خود نمی پسندی برای دیگران مپسند" که البته بصورت های دیگری نیز بیان شده مثل "همسایه ات را دوست بدار همانطور که متقابلاً از او انتظار داری".  عجیب است که این مضامین با همه سادگی خود قادر است با نتایجی که از آنها استخراج میشود اغلب مشکلات جوامع چه بی دین و چه دین زده را حل کند.  این در حالیست که بسیاری از موضوعات مبتلابه جامعه در واقع از زمره قرار دادهاست و نه حوزه اخلاق که امروزه مربوط به قوانین خاص جامعه میشود و کار را آسان ساخته است.  دروازه ورود ما به بهشت، روحیه پرسشگری است. 

علوم ریاضی

علوم ریاضی

    استخوانبندی فیزیک، و بلکه اغلب علوم دقیقه، بر ریاضی و مباحث وابسته آن استوار است.  امروزه تحقیق در فیزیک و فهم پیشرفت های آن بدون ابزار ریاضی تقریباً ناممکن است.  البته این بدان معنا نیست که فیزیک همان ریاضی است بلکه این وابستگی را شاید با این مثال بتوان روشنتر کرد. برای نجّاری، ماده اصلی مورد نیاز همانا چوب است و گاهی چیزهای ساده را با دست هم میتوان ساخت.  اما برای کارهای حرفه ای و سنگینتر به ابزارهائی چون چکش و رنده و مته و اره و امثال آن نیازمندیم.  ریاضی به مثابه این ابزارهاست که روی ماده خام طبیعت کار میکند.  پس ریاضیات بتنهائی چیزی راجع به دنیای بیرون بدست نمیدهد و بعبارت دیگر یک سیستم تهی میباشد.  اکنون بحث خود را از ریاضی و روش آن آغاز میکنیم. 

   ریاضی، علم کمّیت و مقدار است که شامل حساب و هندسه و جبر و تئوری توابع و امثال آن میباشد.   روش ریاضی مبتنی بر استنتاج قضایا از اصول اولیه است.  این روش موسوم است به استدلال که اغلب از قضایای کلی تر، قضایای جزئی تر را استنتاج میکند و گاه از تعدادی قضیه جزئی تر، قضایای کلی تر را تألیف (ترکیب) میکند.  آگوست کنت کار ریاضیدان را اینگونه تعریف کرده که " سعی ریاضیدان مصروف بر اینست که بعضی از مقادیر را بوسیله بعضی دیگر بر حسب روابط دقیقی که میان آنها موجود است تعیین نماید".  

   روش ریاضی براین مبناست که با وضع تعدادی اصل در ابتدای کار، یک سلسله قضایا را از آن استنتاج کند.  در ریاضی 3 دسته اصل وجود دارد.  

1- تعریف (Definition):  عبارتست از تعریف ماهیت چیزی یا یک مفهوم.  تعریف، سابقه قبلی ندارد بلکه خود نتیجه خلّاقیت ذهن و ساخت ذهن میباشد و در واقع نوعی قرارداد میباشد.  مثلاً در هندسه، نقطه، خط، و صفحه تعریف میشود.  یا مثلاً دایره مجموعه نقاطی تعریف میشود که از یک نقطه بنام مرکز به یک فاصله اند.  متشابهاً اعداد نیز تعاریف خود را دارند.  پرسشی اساسی وجود دارد که این مفاهیم از کجا برای بشر حاصل شده است.  عده ای میگویند ساخته و پرداخته ذهن بدون دخالت تجربه است و عده ای آنرا منحصراً ناشی از تجربه میدانند.  درحالیکه واقع امر اینست که مفاهیم اولیه از تجربه حاصل شده و سپس بکمک ذهن حالت مجرد و انتزاعی بدان داده شده است.  مثلاً ذهن، قرص ماه یا خورشید را گرفته و سپس آنرا بصورت آرمانی از نو ساخته و پرداخته است.  مفهوم اعداد نیز بهمین طریق ساخته شده است و جالب اینکه شمارش با انگشتان دست احتمالاً موجب ابداع سیستم دهدهی شده است.  چه بسا اگر هر دست فقط 4 انگشت میداشت ما امروز شمارش بر مبنای اٌکتال یا هشت تائی را در خدمت میداشتیم.  هرچند هم اکنون ذهن ما قادر به کار در انواع سیستم های شمارش بوده و سیستم باینری (دوتائی) بدلیل سهولت در ماشین های الکترونیک کنونی رایج است.  نزد برخی اقوام وحشی، شمارش فقط از 1 تا 3 است و بیشتر از آنرا میگویند "خیلی".  بمرور در اثر انتزاع بیشتر، اعداد کسری، گنگ، جبری، و موهومی بمیدان آمده و ریاضی را هر چه بیشتر از عرصه تجربی دور ساخته است.  پس بطور خلاصه، میتوان گفت که تعاریف ریاضی، مفاهیمی وضعی و قراردادی است.

2- اصل متعارفه (Axiom):  همه قضایای ریاضی از تعاریف استنباط میشود.  اما برای اینکار به چیز دیگری نیازمندیم که اصول متعارفه هستند.  اصول متعارف، همانگونه که از نام آن پیداست، قضایائی است بدیهی که میان مقادیر غیر معین، روابطی ضروری برقرار میکند.  از قبیل اینکه، کل بزرگتر از اجزاء خود است.  یا دو چیز مساوی با مقدار سوم، خود با یکدیگر مساویند.  اصول متعارف درباره همه مقادیر بطور عام صادق است و صحت آنها چنانست که انکار نمیتوان کرد و اگر انکار کنیم دچار تناقض میشویم.  اصول متعارفه در حقیقت برآیند دو اصل بدیهی دیگر میباشد.  یکی اصل "این همانی" و دیگری اصل امتناع تناقض.  اولی بمعنای اینست که هر چیزی، طبعاً، خودش همانست که هست.  مثلاً کتاب، کتاب است.  دومی یعنی امری را نمیتوان همزمان هم ایجابی و هم سلبی حمل کرد.  مثلاً بگوئیم این یک کتاب آشپزی است و در عین حال این یک کتاب آشپزی نیست.  زیرا ذهن تناقض را نمیپذیرد و از قبول آن امتناع دارد.  اصول متعارفه سهم اساسی را در استدلالات ریاضی بازی میکند و به مثابه ملاطی عمل میکند که از تعاریف شروع کرده و قضایای ایجاد شده را به تعاریف چسبانیده ربط میدهد.  یا رابطه ای بین قضایای استنتاج شده برقرار مینماید. توضیح بیشتر را در پی نوشت انتهای این مقاله ببینید.

3- اصل موضوعه (Postulate): علاوه بر دو مطلب فوق، ممکنست به قضایای دیگری نیز محتاج بود که بدون آن براهین ما متوقف بماند.  در هندسه اقلیدسی دستکم یک اصل تحت این عنوان هست که به اصل موضوعه اقلیدس معروفست.  این اصل میگوید " از یک نقطه خارج یک خط، نمیتوان بیش از یک خط بموازات آن مرور داد".  اصل موضوع را نمیتوان بکمک تعاریف اثبات کرد و تنها میتوان آنرا بهمان صورت پذیرفته و بدین ترتیب بتوان سایر قضایا را اثبات کرد.  اصل موضوع، از آنجا که خودمان آنرا وضع کرده ایم بیشتر به تعاریف شباهت دارد و یا برعکس، شاید بتوان گفت تعاریف همگی نوعی اصول موضوعه هستند.  البته بعدها با کنار نهادن این اصل، نشان دادند که بدون آنکه گرفتار تناقضی شوند هندسه ریمان و هندسه لباچفسکی مانند هندسه اقلیدسی بصورت قانونمند ساخته میشود.  در اولی، که در فضای کروی ارائه میشود، هیچ خط موازی نمیتوان رسم کرد ( یا به عبارتی، دو خط موازی یکدیگر را قطع میکنند) و در دومی روی فضای زین اسبی، بینهایت خط موازی میتوان از نقطه مفروض رسم کرد.  همانطور که قبلاً اشاره کرده ایم، فضای واقعی همانا فضای کروی بوده و هندسه ریمانی درست تر است.  اما در مقیاس کوچک هندسه اقلیدسی کاملاً کفایت کرده کما اینکه بنّایان و معماران دقیقاً از همین هندسه پیروی کرده و میکنند.  بد نیست اضافه کنیم که یکی از بهانه های مخالفت با روش علم همین نکته است که ایراد میگیرند اگر قرار باشد هراز گاهی قاعده ای نقض شود پس این شیوه از بنیان غلط است.  در حالیکه واقعاً اینطور نیست و اگر ایرادی هست ناشی از سوء فهم آنهاست.

استدلال ریاضی

   اکنون از خود میپرسیم با در دست داشتن این اصول اولیه، یعنی تعاریف، اصول متعارفه و اصول موضوعه، بکجا میخواهیم برسیم؟  پاسخ اینست که هدف ما بیرون کشیدن معرفت های جدیدتری از دل این مبانی اولیه است.  این چیزهای جدید را "قضایا" مینامند.  برای این کار به ابزاری کارآمد نیاز است که نام آن "استدلال ریاضی" است.   پس استدلال ریاضی عبارتست از روشی است که بکمک آن قضایای جدید از مبانی اولیه بیرون کشیده میشود.  مهمترین استدلال ریاضی "Deduction " است که آنرا "قیاس" ترجمه کرده اند ولی ما ترجیح میدهیم آنرا "استنتاج" بنامیم که درک بهتری را به ذهن متبادر میسازد.  تعریف کلاسیک استنتاج مطابق آنچه یونانیان باستان گفته اند اینست که " ذهن از یک قضیه کلی به قضیه ای کمتر کلی میرسد".  مثل اینکه ما مفهوم مثلث متساوی الاضلاع را از مفهوم کلی تر مثلث نتیجه گیری میکنیم.  یا آنچه در کتب فلسفه مثال میزنند "انسان فانی است، سقراط انسان است، پس سقراط فانیست".  زیرا چیزی که برای کلی صادق باشد برای اجزای آن نیز صادق است که اگر غیر از این باشد به تناقض میرسیم و ذهن از پذیرش آن امتناع دارد.  اما در تعریف جدیدتر استنتاج، عمل عکس نیز اضافه شده است یعنی "ذهن از قضیه ای کمتر کلی به قضیه ای کلی تر میرسد".  مثل اینکه از حساب به علم جبر رسیده ایم و یا از هندسه مسطحه به هندسه فضائی که کلی تر است رسیده ایم.  از اینکه مجموع زوایای مثلث دوقائمه است به حکم کلی تر مجموع زوایای یک کثیر الاضلاع میرسیم.  و بالاخره باید اضافه کرد که در تمامی استدلالات ریاضی، تعمیم ( Generalization) بکار برده میشود و آنچه را که در مورد یک موضوع خاص اثبات کردیم آنرا بتمام موارد مشابه تعمیم میدهیم.  مثلاً اگر در مورد یک مثلث نشان دادیم مساحت برابر حاصلضرب قاعده در نصف ارتفاع است، خود بخود این حکم درباره همه مثلثات در هر گوشه جهان و هر زمان و هر مکان صادق است.   علت این قطعیت در اینست که قضایای ریاضی از تجربه حاصل نمیشود و لذا تعمیم آن کلی و عمومی است.  در حالیکه در فیزیک یا شیمی، چون حقایق آن از راه تجربه وصول میشود لذا تعمیم در علوم تجربی چنین قطعیتی ندارد.  مثلاً با مشاهدات مکرر درباره مواد مختلف نتیجه میگیریم که جامدات بر اثر حرارت منبسط میشوند، اما ممکنست استثنائاتی نیز دیده شود کما اینکه یخ در اثر حرارت آب شده کاهش حجم میدهد.  لذا تعمیم در فیزیک ممکنست قطعیت تعمیم ریاضی را نداشته باشد.  

برهان (Demonstration)، تجزیه و ترکیب (Analysis, Synthesis) 

   برهان ریاضی، استدلالی است بر مبنای استنتاج (قیاس) که در آن از تجزیه یا ترکیب استفاده شده باشد.  منظور از تجزیه (تحلیل) عبارتست از اینکه موضوعی پیچیده را به عوامل ساده تر خود تجزیه کنیم و منظور از ترکیب عبارتست از بدست آوردن معرفتی جدید و پیچیده تر با ترکیب عوامل ساده تر.  هر قضیه ریاضی را میتوان کلیتی دانست مرکب از تعاریف، اصول متعارفه و اصول موضوعه و احتمالاً قضیه یا قضایائی که قبلاً اثبات شده باشند.  مثل اینکه در قضیه "مجموع زوایای یک مثلث دو قائمه است"، عناصر  اولیه برهان آن عبارتند از تعاریف: جمع، زاویه، مثلث، و دو قائمه بعلاوه اصل موضوع اقلیدس و اصل متعارف "دو چیز مساوی با یک چیز، خود مساویند".  تجزیه و ترکیب دو سوی مخالف یک روش اند.  در ترکیب، از اصول ساده آغاز و به قضایای جدید میرسیم. در تحلیل در صدد اثبات قضیه ای هستیم که باید از آن شروع و به تعاریف اولیه که مورد قبولند برسیم.

قوانین ریاضی، عبارتند از روابط ثابتی که بین مقادیر برقرار است.  مثلاً افزودن واحد بر واحد، که قانون اعداد صحیح است.  در واقع قانون را میتوان نوعی تعریف بحساب آورد.  یا مثلاً یک معادله درجه دوم، قانونی است بین تغییرات یک متغیر و یک تابع در عمومی ترین شکل خود.   گو اینکه این قوانین ریاضی ربطی به تجربه ندارد اما برخی از این روابط را فیزیکدانان برای توجیه عالم خارج (خارج از ذهن) از ریاضی وام گرفته و نهایتاً به قانونی تجربی بدل کرده اند.  مثل اینکه سقوط آزاد یک جسم در نبود مقاومت هوا از یک معادله درجه دوم برحسب زمان پیروی میکند.  این به معنی این نیست که ریاضی، رفتار طبیعی را دیکته میکند بلکه به معنی اینست که ما نزدیکترین شکل ریاضی برای این رفتار را جستجو میکنیم و مادام که خلاف آن ثابت نشده آنرا قبول میکنیم.  نمونه این سوء تفاهم را در نوشتار پیشین دیدیم، آنجا که قدما چون کامل ترین شکل را دایره میپنداشتند لذا حرکات سماوی را دایروی دانسته چه اینکه عالم علوی را مبرا از نقص و عیب میپنداشتند.  کوتاه سخن آنکه، ریاضیات با آنکه علمی ذهنی است و ربطی به دنیای خارج ندارد، لیکن دارای فوائد زیادی بوده و علوم تجربی، بویژه فیزیک، وقتی در قالب آن ریخته شود وضوح و قطعیت خاصی مییابد. 

پی نوشت

   اصولاً پایه و اساس هرگونه استدلالی، چه ریاضی و چه غیر ریاضی،  یک سری قوانین اساسی فکر است که در متون قدیمی به "اوّلیّات" موسوم بوده و اینجا ما آنها را اصول بدیهی یا اصول عقلی مینامیم.  چنانچه در هر استدلالی و درباره هر موضوعی مرتباً به اصول پایه ای تری به عقب بازگردیم و در جستجوی استدلال محکمتری باشیم، سرانجام به نقطه ای میرسیم که دیگر از چرائی آن نمیتوان پرسش کرد و بمنزله نقطه مبدآ استدلالات است.  این نقطه که آغاز همه استدلال هاست همان اصل "این همانی Identity"  میباشد.  که قابل استدلال نیست بلکه بدیهی است.  مثلاً  الف = الف که در آن شکی نیست.  در فلسفه دو اصل دیگر از این اصل مشتق شده و اتفاقاً آنچه ارسطو ارائه کرده است این دو اصل زیر است و نه اصل این همانی.  گاهی ایندو را یکجا در یک اصل بیان میکنند که ما در متن تحت عنوان "امتناع تناقض" ذکر کردیم.  و اما این دو بشرح زیرند:

1- اصل امتناع اجتماع نقیضین:  یعنی شئ نمیتواند در عین حال هم خودش باشد و هم خودش نباشد.  بعبارتی، وجود و عدم وجود با هم جمع نمیشوند.  مثلاً این فلز مس است و همین فلز مس نیست!  این حیوان اسب است و در عین حال اسب نیست!

2- اصل امتناع ارتفاع نقیضین (یا امتناع حالت سوم): یعنی میان وجود و عدم وجود، شئ دیگری نیست.  شئ یا هست و یا نیست، شق سومی وجود ندارد.  یا بعبارتی امکان ندارد که شئ نه هست باشد و نه نیست باشد.

تبصره:  اصل "این همانی" را با اعتماد کامل در ریاضی استفاده میکنیم و بسیار سودمند است.  اما خارج از حوزه ریاضی گاهی محل بحث است.  زیرا این اصل، شئ را به نظر ثبات و عدم تغییر مینگرد و تآکید میکند که شئ در نفس خود همیشه ثابت و پایدار است مشابه آنچه در اصول استاتیک در مکانیک فیزیک داریم.  این اصل با نظریه ثبات که پارمنیدس بیان کرده است همخوانی دارد، حال آنکه حقیقت جهان بیشتر موافق نظر هراکلیتوس است ناظر بر اینکه هیچ چیزی در هیچ آنی ثابت و پایدار نیست.  ظاهراً بنظر میرسد وجود عدم ثبات در جهان، درستی این اصل را محل تردید قرار میدهد.  گویا هگل نیز با نظریه "تز" و "آنتی تز" خود همین معنا را میرساند یعنی هر چیزی در عین حال ضد خودش نیز هست!  واقعیت اینست که با آنکه نظر هراکلیتوس در کلیت خود درست است اما از دیدگاه عملی، حتی در امور ناپایدار نیز ثبات نسبی داریم که به "شبه پایداری Quasi Stability" موسوم است.  یعنی اگر بازه زمانی را باندازه کافی کوتاه بگیریم، با وجود تغییر، میتوان ثبات نسبی را درک کرد.  مثلاً اگر این فرد جوان است، فعلاً برای این چند روز همینگونه است.  اختلافی که بین علم و فلسفه است در همین جاست که تصور فلاسفه از جهان یک تصویر سیاه و سفید است و رنگ خاکستری جایگاهی ندارد.  در حالیکه جهان واقعی اینگونه نیست.  بسیاری از چیزها در همان ناحیه وسط است که اصل امتناع ارتفاع نقیضین آنرا نفی میکند.  مثلاً در هر لحظه، شخص باید یا جوان باشد یا جوان نباشد.  حالت سومی نباید باشد.  یعنی عبور از جوانی لابد در یک آن باید انجام شود.  در حالیکه عملاً اینگونه نیست.  اینگونه نیست که فقط دو درجه از بودن و نبودن وجود داشته باشد.  لذا خارج از حوزه ریاضیات باید با این اصول با قید احتیاط برخورد شود.