آیا لاندا، λ، همان احتمال است؟!
آیا λ "لاندا" همان احتمال است ؟!
هفته گذشته دوستی سؤال فوق را مطرح کرد و خبر از یک پارادوکس عجیب داد. به این معنی که λ "لاندا" که ضریب واپاشی یک هسته رادیواکتیو است، ممکن است برابر sec-1 2 بوده باشد. ولی از سوی دیگر در کتابها گفته شده که لاندا عبارت از احتمال تجزیه یک هسته در واحد زمان (ثانیه) میباشد که در اینصورت، طبق تعریف احتمال، باید از واحد کوچکتر باشد که با مثال فوق مغایرت پیدا میکند. اکنون در ادامه به واکاوی این مطلب خواهیم پرداخت. ظاهر آنچه در پی خواهد آمد ممکن است بسیار ساده و پیش پا افتاده بنظر آید اما در باطن، مفهومی بسیار عمیق و شایسته تأمل و تدبر در بر دارد. نتایجی هم که بر آن مترتب است دارای معانی عمیق فلسفی میباشد که درک ظرایف آن کمی مشکل است. در حقیقت مشکل عمومی طبقه درس خوانده زمان ما این است که از لحاظ شکلی مقادیر زیادی اطلاعات کسب کرده ولی از لحاظ کیفی فرصت هضم و درک آنها را نداشته و یا نتوانسته اند که داشته باشند. اکنون توجه دقیق دوستداران علم را به مطالب مهم زیر جلب میکنم.
همانطور که از مقدمات فیزیک هسته ای میدانیم، λ ضریب تجزیه برای یک ماده رادیو اکتیو است که در رابطه اصلی : ( N=N0 exp( - λt خود نمائی میکند. اما با کمی دستکاری شکل دیگری از نمایش λ بصورت :
(delta (N) /N / delta(t میباشد. مثلاً اگر در لحظه زمانی t، از 1000 هسته موجود در آن زمان، تعداد 100 هسته در بازه زمانی 0.05 ثانیه متلاشی شده باشد، در اینصورت مقدار λ برابر 100/1000/0.05 محاسبه میشود و برابر 2 واحد sec-1 بدست میآید. در مراجع، نسبت یاد شده تحت عنوان "احتمال واپاشی یک هسته در واحد زمان" مطرح میگردد. در حالیکه احتمال واقعی p(t)dt میباشد. یعنی احتمال تجزیه یک هسته در لحظه t و در بازه زمانی dt در اطراف t که ضمناً بدون واحد نیز هست. لذا
λ dt
برابر است با احتمال تجزیه یک هسته در لحظه t (هر لحظه دلخواه زیرا λ مستقل از زمان است!) و در بازه dt اطراف آن. اگر dt=1 ثانیه فرض نمائیم، بنظر میرسد که، برای مثال قبلی، λ=2 غیر عادی مینماید زیرا احتمال بزرگتر از واحد بی معنی است. حداکثر مطلق احتمال برابر واحد (یا 100%) است. در حالیکه نکته اصلی در این است که احتمال "λ" در شرایطی استخراج شده است که dt<<1 باشد و بنابراین کاربرد آن برای بازه های زمانی بزرگ واقع گرایانه نیست. برای هسته های با نیمه عمر بزرگ λ معمولاً عدد کوچکی شده و معنی درست خود را به ذهن متبادر میسازد. مثلاً برای هسته ای با نیمه عمر 69 ثانیه، λ=.01 بدست میآید و همانا به درستی احتمال تجزیه یک هسته در واحد زمان است. اما برای هسته های با نیمه عمر خیلی کوتاه (زیر ثانیه) باید از مفهوم λ dt استفاده شود. مثلاً هسته ای با نیمه عمر 0.07 ثانیه، λ=10 حاصل میشود. شکل دیگری از تفسیر نتایجی اینچنین بزرگتر از واحد و بظاهر بیمعنی این است که بگوئیم در واقع، احتمال تجزیه در واحد زمان برای مثلاً 10 هسته همزمان وجود دارد(و نه 1 هسته). اما روش دقیقتر اینست که بگوئیم چون ثانیه به عنوان یکای زمان در اینجا نسبت به نیمه عمر خیلی بزرگ است لذا واحد زمان را msec یا microsec اختیار کنیم و λ عدد کوچکی بدست میآید. و یا اصلاً بگوئیم احتمال λdt را برای بازه های زمانی خیلی کوچکتر از ثانیه (dt<<1) لحاظ کنیم که در هر حال نتیجه یکیست و معنی درست فیزیکی خود را نشان میدهد. در نهایت، تابع دانسیته احتمال کلی به ترتیب زیر (شبیه آنچه در مونت کارلو انجام داده ایم) بدست میآید:
اگر N0 تعداد اولیه هسته ها در لحظه صفر باشد، در این صورت: ( N(t)/N0= exp( - λt عبارت است از احتمال اینکه یک هسته مدت t را (یعنی از لحظه صفر تا لحظه t را) بدون واپاشی سپری کرده باشد و هنوز دچار تجزیه نشده باشد. اما این تمام ماجرا نیست بلکه بخش دیگری از این ماجرا بشرح زیر است. اکنون از خود میپرسیم برای هسته ای که در لحظه t وجود دارد (صرفنظر از پیشینه آن)، چه احتمالی هست که بلافاصله در بازه زمانی واحد متلاشی گردد. همانطور که در فوق یاد شد این احتمال متناسب با λ میباشد ( که اگر تلاشی در بازه dt باشد میشود: λ dt). لذا با بازگشت به پرسش اصلی اکنون از خود میپرسیم : برای یک هسته اولیه که زحمت کشیده و صبر کرده خود را صحیح و سالم از لحظه صفر به لحظه t کشانده، چه احتمالی وجود دارد که بلافاصله درپی آن در بازه زمانی واحد متلاشی گردد؟ طبعاً جواب این پرسش، حاصلضرب دو احتمال یاد شده است: یعنی اینکه اولاً تا لحظه t دوام آورده باشد و ثانیاً، سپس بلافاصله در واحد زمان پشت بند آن تجزیه گردد. لذا:
(p(t)= λ exp( - λt
تابع دانسیته احتمال یا p.d.f مربوطه میباشد و به معنای اینست که احتمال آنکه یک هسته باندازه زمان t عمر کرده و سپس در واحد زمان در انتهای عمر خویش تجزیه گردد از رابطه فوق بدست میآید. طبق تعریف توابع احتمال، تابع توزیع جمعی (یا c.d.f )، انتگرال رابطه فوق از صفر تا زمان t خواهد بود که برابر است با:
(c.d.f(t)= 1-exp( - λt
معنی آن این است که چه احتمالی وجود دارد که یک هسته در بازه زمانی [0-t] تجزیه شود. طبعاً چنانچه زمان t بسمت بینهایت میل کند احتمال مزبور واحد است که غیر این نیز انتظار نمیرود. بعبارت دیگر یک هسته رادیواکتیو (با هر نیمه عمری) بالاخره طی زمان صفر تا بینهایت قطعاً تجزیه خواهد شد. معنای دیگر جمله اخیر اینست که p.d.f در کل بازه تغییرات متغیر (زمان) نرمالیزه است (تمرین). به عنوان مثال اگر پرسش شود عمر متوسط یک هسته چقدر است؟ بسادگی و با استفاده از تعریف ریاضی متوسط گیری میتوانید ثابت کنید که مقدار آن برابر λ-1 است (تمرین).
برخی نتایج فلسفی:
تا آنجا که اکتشافات علمی نشان داده، موجودات بر حسب عمری که میکنند در دو دسته بکلی مجزا دسته بندی میشوند. یک گونه، موجودات بیولوژیک هستند که ما انسانها هم در آن گونه قرار میگیریم. منحنی نمایش زندگی تعداد مشخصی از این موجودات (یعنی مثلاً 1000 عدد سگ را زیر نظر گرفته، ببینیم که پس از گذشت هر زمان t چه تعداد زنده باقی میمانند) تقریباً یک خط افقی با شیب ملایم رو به پائین بوده و سپس حول و حوش زمانی که به آن عمر متوسط میگوئیم با شیب تندی به صفر میرسد. مثلاً این عمر متوسط برای سگ ها حدود 15 سال است در حالیکه برای انسان حدود 70 تا 80 سال است. با اینکه عمر متوسط بستگی به بهداشت و عوامل دیگر دارد اما شکل عمومی آن یکسان است و مثلاً نمیتوان سگی یافت که خارج از قاعده بطور تصادفی 150 سال عمر کرده باشد!
در مورد اتم های پایدار که عملاً عمر بینهایت دارند نظری نیست. اما هسته های رادیواکتیو که دارای رفتار نمائی بوده و بستگی به نیمه عمر (عمر متوسط) با شیب کم یا زیادی بسمت نابودی میروند در گونه دوم ما طبقه بندی میشوند. به این معنی که اگر عنصری دارای عمر متوسط یک روز باشد، برخلاف دسته قبلی، میتوان انتظار داشت هسته هائی از همین نوع تا چندین ماه (صدها برابر عمر متوسط) نیز دوام داشته باشند. طبعاً هر چه در زمان پیشروی کنیم، انتظار مشاهده چنین ابر-کهنسالانی کمتر و کمتر میشود. معهذا از لحاظ اصولی هیچ محدودیتی برای طول زندگی "خارج از قاعده" این عزیزان وجود ندارد. چه اینکه در پاراگراف های قبلی دیدیم که دم منحنی نمائی در بینهایت به صفر میرسد.
اینکه پزشکی مدرن در تلاش افزایش عمر مفید انسانهاست شکی نیست و در واقع امروزه انسانها، بطور متوسط، بسیار بیش از اجداد خود عمر میکنند. اما نکته مهم دیگری که در آنهم شک نیست آنکه شکل منحنی مربوط به عمر لایتغیر است و دستکم تا امروز چنین بوده است. به عبارت دیگر آن خصوصیتی که در مورد هسته های رادیواکتیو وجود دارد در مورد موجودات بیولوژیک وجود ندارد. به زبان دیگر، اگر بر فرض، روزی انسانی را یافتید که 700 سال عمر کرده مطمئن باشید که انسان های دیگری با 1000 و 2000 و 10000 سال و بیشتر را هم خواهید یافت. زیرا اگر این قاعده طبیعی بخواهد دستخوش تغییر گردد، استثنا پذیر نیست همچنانکه در گروه هسته های رادیواکتیو پارتی بازی وجود نداشته بلکه قاعده بازی برای همه به یکسان اجرا میگردد. در ختم کلام، البته بهتر است آرزوی چنین تغییری را هم نداشته باشید چه اینکه طبیعت چیزی را به رایگان نمیدهد. اگر بر فرض زندگی در گروه دوم را انتخاب میکردید، البته که محتمل بود 1000 سال و حتی بیشتر عمر کنید ولی در عوض بسیاری از عزیزان خود را در کودکی و عنفوان جوانی از دست میدادید که طبعاً نمیتوانست خوش آیند باشد. گویا طبیعت مایل نیست همه خوشی ها یکجا جمع گردد!
اما چه چیزی باعث بروز اینهمه تفاوت در این دو دسته میشود؟ پاسخ در ضریب λ نهفته است. این ضریب، همانگونه که بحث شد، برای هسته های رادیواکتیو مستقل از زمان t میباشد. یعنی فرقی ندارد اگر هسته 1 روز عمر داشته باشد یا 100 سال؛ در هر حال احتمال تجزیه و از بین رفتن آن یکسان است. در حالیکه برای موجودات بیولوژیک قطعاً تابع زمان است. آیا احتمال مرگ در اثر پیری برای پیرمرد 85 ساله و جوان 20 ساله یکسان است؟ قطعاً اینطور نیست و احتمال مرگ (بخوانید تجزیه) برای کسی که عمر بیشتری کرده بزرگتر است و لذا λ برای این دسته تابع زمان است و هرچه زمان t بیشتر باشد مقدار آن بزرگتر است!
