علوم ریاضی
علوم ریاضی
استخوانبندی فیزیک، و بلکه اغلب علوم دقیقه، بر ریاضی و مباحث وابسته آن استوار است. امروزه تحقیق در فیزیک و فهم پیشرفت های آن بدون ابزار ریاضی تقریباً ناممکن است. البته این بدان معنا نیست که فیزیک همان ریاضی است بلکه این وابستگی را شاید با این مثال بتوان روشنتر کرد. برای نجّاری، ماده اصلی مورد نیاز همانا چوب است و گاهی چیزهای ساده را با دست هم میتوان ساخت. اما برای کارهای حرفه ای و سنگینتر به ابزارهائی چون چکش و رنده و مته و اره و امثال آن نیازمندیم. ریاضی به مثابه این ابزارهاست که روی ماده خام طبیعت کار میکند. پس ریاضیات بتنهائی چیزی راجع به دنیای بیرون بدست نمیدهد و بعبارت دیگر یک سیستم تهی میباشد. اکنون بحث خود را از ریاضی و روش آن آغاز میکنیم.
ریاضی، علم کمّیت و مقدار است که شامل حساب و هندسه و جبر و تئوری توابع و امثال آن میباشد. روش ریاضی مبتنی بر استنتاج قضایا از اصول اولیه است. این روش موسوم است به استدلال که اغلب از قضایای کلی تر، قضایای جزئی تر را استنتاج میکند و گاه از تعدادی قضیه جزئی تر، قضایای کلی تر را تألیف (ترکیب) میکند. آگوست کنت کار ریاضیدان را اینگونه تعریف کرده که " سعی ریاضیدان مصروف بر اینست که بعضی از مقادیر را بوسیله بعضی دیگر بر حسب روابط دقیقی که میان آنها موجود است تعیین نماید".
روش ریاضی براین مبناست که با وضع تعدادی اصل در ابتدای کار، یک سلسله قضایا را از آن استنتاج کند. در ریاضی 3 دسته اصل وجود دارد.
1- تعریف (Definition): عبارتست از تعریف ماهیت چیزی یا یک مفهوم. تعریف، سابقه قبلی ندارد بلکه خود نتیجه خلّاقیت ذهن و ساخت ذهن میباشد و در واقع نوعی قرارداد میباشد. مثلاً در هندسه، نقطه، خط، و صفحه تعریف میشود. یا مثلاً دایره مجموعه نقاطی تعریف میشود که از یک نقطه بنام مرکز به یک فاصله اند. متشابهاً اعداد نیز تعاریف خود را دارند. پرسشی اساسی وجود دارد که این مفاهیم از کجا برای بشر حاصل شده است. عده ای میگویند ساخته و پرداخته ذهن بدون دخالت تجربه است و عده ای آنرا منحصراً ناشی از تجربه میدانند. درحالیکه واقع امر اینست که مفاهیم اولیه از تجربه حاصل شده و سپس بکمک ذهن حالت مجرد و انتزاعی بدان داده شده است. مثلاً ذهن، قرص ماه یا خورشید را گرفته و سپس آنرا بصورت آرمانی از نو ساخته و پرداخته است. مفهوم اعداد نیز بهمین طریق ساخته شده است و جالب اینکه شمارش با انگشتان دست احتمالاً موجب ابداع سیستم دهدهی شده است. چه بسا اگر هر دست فقط 4 انگشت میداشت ما امروز شمارش بر مبنای اٌکتال یا هشت تائی را در خدمت میداشتیم. هرچند هم اکنون ذهن ما قادر به کار در انواع سیستم های شمارش بوده و سیستم باینری (دوتائی) بدلیل سهولت در ماشین های الکترونیک کنونی رایج است. نزد برخی اقوام وحشی، شمارش فقط از 1 تا 3 است و بیشتر از آنرا میگویند "خیلی". بمرور در اثر انتزاع بیشتر، اعداد کسری، گنگ، جبری، و موهومی بمیدان آمده و ریاضی را هر چه بیشتر از عرصه تجربی دور ساخته است. پس بطور خلاصه، میتوان گفت که تعاریف ریاضی، مفاهیمی وضعی و قراردادی است.
2- اصل متعارفه (Axiom): همه قضایای ریاضی از تعاریف استنباط میشود. اما برای اینکار به چیز دیگری نیازمندیم که اصول متعارفه هستند. اصول متعارف، همانگونه که از نام آن پیداست، قضایائی است بدیهی که میان مقادیر غیر معین، روابطی ضروری برقرار میکند. از قبیل اینکه، کل بزرگتر از اجزاء خود است. یا دو چیز مساوی با مقدار سوم، خود با یکدیگر مساویند. اصول متعارف درباره همه مقادیر بطور عام صادق است و صحت آنها چنانست که انکار نمیتوان کرد و اگر انکار کنیم دچار تناقض میشویم. اصول متعارفه در حقیقت برآیند دو اصل بدیهی دیگر میباشد. یکی اصل "این همانی" و دیگری اصل امتناع تناقض. اولی بمعنای اینست که هر چیزی، طبعاً، خودش همانست که هست. مثلاً کتاب، کتاب است. دومی یعنی امری را نمیتوان همزمان هم ایجابی و هم سلبی حمل کرد. مثلاً بگوئیم این یک کتاب آشپزی است و در عین حال این یک کتاب آشپزی نیست. زیرا ذهن تناقض را نمیپذیرد و از قبول آن امتناع دارد. اصول متعارفه سهم اساسی را در استدلالات ریاضی بازی میکند و به مثابه ملاطی عمل میکند که از تعاریف شروع کرده و قضایای ایجاد شده را به تعاریف چسبانیده ربط میدهد. یا رابطه ای بین قضایای استنتاج شده برقرار مینماید. توضیح بیشتر را در پی نوشت انتهای این مقاله ببینید.
3- اصل موضوعه (Postulate): علاوه بر دو مطلب فوق، ممکنست به قضایای دیگری نیز محتاج بود که بدون آن براهین ما متوقف بماند. در هندسه اقلیدسی دستکم یک اصل تحت این عنوان هست که به اصل موضوعه اقلیدس معروفست. این اصل میگوید " از یک نقطه خارج یک خط، نمیتوان بیش از یک خط بموازات آن مرور داد". اصل موضوع را نمیتوان بکمک تعاریف اثبات کرد و تنها میتوان آنرا بهمان صورت پذیرفته و بدین ترتیب بتوان سایر قضایا را اثبات کرد. اصل موضوع، از آنجا که خودمان آنرا وضع کرده ایم بیشتر به تعاریف شباهت دارد و یا برعکس، شاید بتوان گفت تعاریف همگی نوعی اصول موضوعه هستند. البته بعدها با کنار نهادن این اصل، نشان دادند که بدون آنکه گرفتار تناقضی شوند هندسه ریمان و هندسه لباچفسکی مانند هندسه اقلیدسی بصورت قانونمند ساخته میشود. در اولی، که در فضای کروی ارائه میشود، هیچ خط موازی نمیتوان رسم کرد ( یا به عبارتی، دو خط موازی یکدیگر را قطع میکنند) و در دومی روی فضای زین اسبی، بینهایت خط موازی میتوان از نقطه مفروض رسم کرد. همانطور که قبلاً اشاره کرده ایم، فضای واقعی همانا فضای کروی بوده و هندسه ریمانی درست تر است. اما در مقیاس کوچک هندسه اقلیدسی کاملاً کفایت کرده کما اینکه بنّایان و معماران دقیقاً از همین هندسه پیروی کرده و میکنند. بد نیست اضافه کنیم که یکی از بهانه های مخالفت با روش علم همین نکته است که ایراد میگیرند اگر قرار باشد هراز گاهی قاعده ای نقض شود پس این شیوه از بنیان غلط است. در حالیکه واقعاً اینطور نیست و اگر ایرادی هست ناشی از سوء فهم آنهاست.
استدلال ریاضی
اکنون از خود میپرسیم با در دست داشتن این اصول اولیه، یعنی تعاریف، اصول متعارفه و اصول موضوعه، بکجا میخواهیم برسیم؟ پاسخ اینست که هدف ما بیرون کشیدن معرفت های جدیدتری از دل این مبانی اولیه است. این چیزهای جدید را "قضایا" مینامند. برای این کار به ابزاری کارآمد نیاز است که نام آن "استدلال ریاضی" است. پس استدلال ریاضی عبارتست از روشی است که بکمک آن قضایای جدید از مبانی اولیه بیرون کشیده میشود. مهمترین استدلال ریاضی "Deduction " است که آنرا "قیاس" ترجمه کرده اند ولی ما ترجیح میدهیم آنرا "استنتاج" بنامیم که درک بهتری را به ذهن متبادر میسازد. تعریف کلاسیک استنتاج مطابق آنچه یونانیان باستان گفته اند اینست که " ذهن از یک قضیه کلی به قضیه ای کمتر کلی میرسد". مثل اینکه ما مفهوم مثلث متساوی الاضلاع را از مفهوم کلی تر مثلث نتیجه گیری میکنیم. یا آنچه در کتب فلسفه مثال میزنند "انسان فانی است، سقراط انسان است، پس سقراط فانیست". زیرا چیزی که برای کلی صادق باشد برای اجزای آن نیز صادق است که اگر غیر از این باشد به تناقض میرسیم و ذهن از پذیرش آن امتناع دارد. اما در تعریف جدیدتر استنتاج، عمل عکس نیز اضافه شده است یعنی "ذهن از قضیه ای کمتر کلی به قضیه ای کلی تر میرسد". مثل اینکه از حساب به علم جبر رسیده ایم و یا از هندسه مسطحه به هندسه فضائی که کلی تر است رسیده ایم. از اینکه مجموع زوایای مثلث دوقائمه است به حکم کلی تر مجموع زوایای یک کثیر الاضلاع میرسیم. و بالاخره باید اضافه کرد که در تمامی استدلالات ریاضی، تعمیم ( Generalization) بکار برده میشود و آنچه را که در مورد یک موضوع خاص اثبات کردیم آنرا بتمام موارد مشابه تعمیم میدهیم. مثلاً اگر در مورد یک مثلث نشان دادیم مساحت برابر حاصلضرب قاعده در نصف ارتفاع است، خود بخود این حکم درباره همه مثلثات در هر گوشه جهان و هر زمان و هر مکان صادق است. علت این قطعیت در اینست که قضایای ریاضی از تجربه حاصل نمیشود و لذا تعمیم آن کلی و عمومی است. در حالیکه در فیزیک یا شیمی، چون حقایق آن از راه تجربه وصول میشود لذا تعمیم در علوم تجربی چنین قطعیتی ندارد. مثلاً با مشاهدات مکرر درباره مواد مختلف نتیجه میگیریم که جامدات بر اثر حرارت منبسط میشوند، اما ممکنست استثنائاتی نیز دیده شود کما اینکه یخ در اثر حرارت آب شده کاهش حجم میدهد. لذا تعمیم در فیزیک ممکنست قطعیت تعمیم ریاضی را نداشته باشد.
برهان (Demonstration)، تجزیه و ترکیب (Analysis, Synthesis)
برهان ریاضی، استدلالی است بر مبنای استنتاج (قیاس) که در آن از تجزیه یا ترکیب استفاده شده باشد. منظور از تجزیه (تحلیل) عبارتست از اینکه موضوعی پیچیده را به عوامل ساده تر خود تجزیه کنیم و منظور از ترکیب عبارتست از بدست آوردن معرفتی جدید و پیچیده تر با ترکیب عوامل ساده تر. هر قضیه ریاضی را میتوان کلیتی دانست مرکب از تعاریف، اصول متعارفه و اصول موضوعه و احتمالاً قضیه یا قضایائی که قبلاً اثبات شده باشند. مثل اینکه در قضیه "مجموع زوایای یک مثلث دو قائمه است"، عناصر اولیه برهان آن عبارتند از تعاریف: جمع، زاویه، مثلث، و دو قائمه بعلاوه اصل موضوع اقلیدس و اصل متعارف "دو چیز مساوی با یک چیز، خود مساویند". تجزیه و ترکیب دو سوی مخالف یک روش اند. در ترکیب، از اصول ساده آغاز و به قضایای جدید میرسیم. در تحلیل در صدد اثبات قضیه ای هستیم که باید از آن شروع و به تعاریف اولیه که مورد قبولند برسیم.
قوانین ریاضی، عبارتند از روابط ثابتی که بین مقادیر برقرار است. مثلاً افزودن واحد بر واحد، که قانون اعداد صحیح است. در واقع قانون را میتوان نوعی تعریف بحساب آورد. یا مثلاً یک معادله درجه دوم، قانونی است بین تغییرات یک متغیر و یک تابع در عمومی ترین شکل خود. گو اینکه این قوانین ریاضی ربطی به تجربه ندارد اما برخی از این روابط را فیزیکدانان برای توجیه عالم خارج (خارج از ذهن) از ریاضی وام گرفته و نهایتاً به قانونی تجربی بدل کرده اند. مثل اینکه سقوط آزاد یک جسم در نبود مقاومت هوا از یک معادله درجه دوم برحسب زمان پیروی میکند. این به معنی این نیست که ریاضی، رفتار طبیعی را دیکته میکند بلکه به معنی اینست که ما نزدیکترین شکل ریاضی برای این رفتار را جستجو میکنیم و مادام که خلاف آن ثابت نشده آنرا قبول میکنیم. نمونه این سوء تفاهم را در نوشتار پیشین دیدیم، آنجا که قدما چون کامل ترین شکل را دایره میپنداشتند لذا حرکات سماوی را دایروی دانسته چه اینکه عالم علوی را مبرا از نقص و عیب میپنداشتند. کوتاه سخن آنکه، ریاضیات با آنکه علمی ذهنی است و ربطی به دنیای خارج ندارد، لیکن دارای فوائد زیادی بوده و علوم تجربی، بویژه فیزیک، وقتی در قالب آن ریخته شود وضوح و قطعیت خاصی مییابد.
پی نوشت
اصولاً پایه و اساس هرگونه استدلالی، چه ریاضی و چه غیر ریاضی، یک سری قوانین اساسی فکر است که در متون قدیمی به "اوّلیّات" موسوم بوده و اینجا ما آنها را اصول بدیهی یا اصول عقلی مینامیم. چنانچه در هر استدلالی و درباره هر موضوعی مرتباً به اصول پایه ای تری به عقب بازگردیم و در جستجوی استدلال محکمتری باشیم، سرانجام به نقطه ای میرسیم که دیگر از چرائی آن نمیتوان پرسش کرد و بمنزله نقطه مبدآ استدلالات است. این نقطه که آغاز همه استدلال هاست همان اصل "این همانی Identity" میباشد. که قابل استدلال نیست بلکه بدیهی است. مثلاً الف = الف که در آن شکی نیست. در فلسفه دو اصل دیگر از این اصل مشتق شده و اتفاقاً آنچه ارسطو ارائه کرده است این دو اصل زیر است و نه اصل این همانی. گاهی ایندو را یکجا در یک اصل بیان میکنند که ما در متن تحت عنوان "امتناع تناقض" ذکر کردیم. و اما این دو بشرح زیرند:
1- اصل امتناع اجتماع نقیضین: یعنی شئ نمیتواند در عین حال هم خودش باشد و هم خودش نباشد. بعبارتی، وجود و عدم وجود با هم جمع نمیشوند. مثلاً این فلز مس است و همین فلز مس نیست! این حیوان اسب است و در عین حال اسب نیست!
2- اصل امتناع ارتفاع نقیضین (یا امتناع حالت سوم): یعنی میان وجود و عدم وجود، شئ دیگری نیست. شئ یا هست و یا نیست، شق سومی وجود ندارد. یا بعبارتی امکان ندارد که شئ نه هست باشد و نه نیست باشد.
تبصره: اصل "این همانی" را با اعتماد کامل در ریاضی استفاده میکنیم و بسیار سودمند است. اما خارج از حوزه ریاضی گاهی محل بحث است. زیرا این اصل، شئ را به نظر ثبات و عدم تغییر مینگرد و تآکید میکند که شئ در نفس خود همیشه ثابت و پایدار است مشابه آنچه در اصول استاتیک در مکانیک فیزیک داریم. این اصل با نظریه ثبات که پارمنیدس بیان کرده است همخوانی دارد، حال آنکه حقیقت جهان بیشتر موافق نظر هراکلیتوس است ناظر بر اینکه هیچ چیزی در هیچ آنی ثابت و پایدار نیست. ظاهراً بنظر میرسد وجود عدم ثبات در جهان، درستی این اصل را محل تردید قرار میدهد. گویا هگل نیز با نظریه "تز" و "آنتی تز" خود همین معنا را میرساند یعنی هر چیزی در عین حال ضد خودش نیز هست! واقعیت اینست که با آنکه نظر هراکلیتوس در کلیت خود درست است اما از دیدگاه عملی، حتی در امور ناپایدار نیز ثبات نسبی داریم که به "شبه پایداری Quasi Stability" موسوم است. یعنی اگر بازه زمانی را باندازه کافی کوتاه بگیریم، با وجود تغییر، میتوان ثبات نسبی را درک کرد. مثلاً اگر این فرد جوان است، فعلاً برای این چند روز همینگونه است. اختلافی که بین علم و فلسفه است در همین جاست که تصور فلاسفه از جهان یک تصویر سیاه و سفید است و رنگ خاکستری جایگاهی ندارد. در حالیکه جهان واقعی اینگونه نیست. بسیاری از چیزها در همان ناحیه وسط است که اصل امتناع ارتفاع نقیضین آنرا نفی میکند. مثلاً در هر لحظه، شخص باید یا جوان باشد یا جوان نباشد. حالت سومی نباید باشد. یعنی عبور از جوانی لابد در یک آن باید انجام شود. در حالیکه عملاً اینگونه نیست. اینگونه نیست که فقط دو درجه از بودن و نبودن وجود داشته باشد. لذا خارج از حوزه ریاضیات باید با این اصول با قید احتیاط برخورد شود.
